Calculando os Zeros de uma Função Quadrática: Como Calcular Os Zeros De Uma Funçao Quadratica Exemplos Resolvidos
Como Calcular Os Zeros De Uma Funçao Quadratica Exemplos Resolvidos – Determinar os zeros (ou raízes) de uma função quadrática é uma tarefa fundamental em álgebra e possui diversas aplicações práticas em áreas como física, engenharia e economia. Neste artigo, exploraremos os métodos para calcular esses zeros, desde a fórmula quadrática até a fatoração, ilustrando com exemplos detalhados e analisando a interpretação geométrica das soluções encontradas.
Introdução à Função Quadrática
Uma função quadrática é uma função polinomial de segundo grau, representada pela forma geral: f(x) = ax² + bx + c, onde ‘a’, ‘b’, e ‘c’ são coeficientes reais, e ‘a’ é diferente de zero (a ≠ 0). O coeficiente ‘a’ determina a concavidade da parábola (se ‘a’ > 0, a parábola abre para cima; se ‘a’ < 0, abre para baixo). O coeficiente 'b' influencia a inclinação da parábola, e 'c' representa o ponto de interseção da parábola com o eixo y (o valor de f(x) quando x = 0).
Graficamente, uma função quadrática representa uma parábola, uma curva simétrica em forma de U. A posição e a orientação da parábola dependem dos valores dos coeficientes ‘a’, ‘b’, e ‘c’.
| Função Quadrática | Coeficiente ‘a’ | Coeficiente ‘b’ | Coeficiente ‘c’ |
|---|---|---|---|
| f(x) = x² + 2x + 1 | 1 | 2 | 1 |
| f(x) = -x² + 4x – 3 | -1 | 4 | -3 |
| f(x) = 2x² – 5x + 2 | 2 | -5 | 2 |
| f(x) = -3x² + 6x | -3 | 6 | 0 |
Métodos para Calcular as Raízes (Zeros)
Existem dois métodos principais para encontrar as raízes de uma função quadrática: a fórmula quadrática e a fatoração. A escolha do método depende da complexidade da equação e da preferência do solucionador.
Fórmula Quadrática: Este método fornece uma solução direta para as raízes, independentemente da sua natureza (reais e distintas, reais e iguais, ou complexas). A fórmula é dada por:
x = [-b ± √(b²
4ac)] / 2a
Os passos para utilizar a fórmula quadrática são:
- Identificar os coeficientes a, b, e c da função quadrática.
- Calcular o discriminante (Δ = b² – 4ac).
- Substituir os valores de a, b, e c na fórmula quadrática.
- Resolver a equação para encontrar os valores de x (as raízes).
Método de Fatoração: Este método consiste em reescrever a função quadrática como um produto de dois fatores lineares. A fatoração é aplicável apenas quando as raízes são reais. Os passos gerais são:
- Reescrever a equação na forma ax² + bx + c = 0.
- Encontrar dois números que, somados, resultem em ‘b’ e, multiplicados, resultem em ‘ac’.
- Reescrever a equação utilizando esses dois números para fatorá-la.
- Igualar cada fator a zero e resolver para ‘x’.
A fórmula quadrática é mais geral, funcionando sempre, enquanto a fatoração é mais rápida quando aplicável, mas nem sempre é possível fatorar facilmente.
Exemplos Resolvidos: Fórmula Quadrática
Vejamos três exemplos resolvidos utilizando a fórmula quadrática:
Exemplo 1: Raízes Reais e Distintas
| Passos | Explicação |
|---|---|
| f(x) = x² – 5x + 6 = 0 | Equação quadrática a ser resolvida. |
| a = 1, b = -5, c = 6 | Identificação dos coeficientes. |
| Δ = (-5)² – 4(1)(6) = 1 | Cálculo do discriminante. |
| x = [5 ± √1] / 2 | Aplicação da fórmula quadrática. |
| x₁ = 3, x₂ = 2 | Raízes reais e distintas. |
Exemplo 2: Raízes Reais e Iguais
| Passos | Explicação |
|---|---|
| f(x) = x² – 4x + 4 = 0 | Equação quadrática a ser resolvida. |
| a = 1, b = -4, c = 4 | Identificação dos coeficientes. |
| Δ = (-4)² – 4(1)(4) = 0 | Cálculo do discriminante. |
| x = [4 ± √0] / 2 | Aplicação da fórmula quadrática. |
| x = 2 | Raiz real dupla (igual). |
Exemplo 3: Raízes Complexas
| Passos | Explicação |
|---|---|
| f(x) = x² + 2x + 5 = 0 | Equação quadrática a ser resolvida. |
| a = 1, b = 2, c = 5 | Identificação dos coeficientes. |
| Δ = (2)² – 4(1)(5) = -16 | Cálculo do discriminante. |
| x = [-2 ± √(-16)] / 2 | Aplicação da fórmula quadrática. |
| x₁ = -1 + 2i, x₂ = -1 – 2i | Raízes complexas conjugadas. |
Exemplos Resolvidos: Fatoração
Aqui estão três exemplos resolvidos utilizando o método de fatoração:
Exemplo 1: f(x) = x²
-5x + 6 = 0
(x – 2)(x – 3) = 0; Portanto, x₁ = 2 e x₂ = 3. A fatoração simplifica a busca pelas raízes quando possível.
Exemplo 2: f(x) = x²
-4x + 4 = 0
(x – 2)² = 0; Portanto, x = 2 (raiz dupla). A fatoração revela a natureza da raiz dupla.
Exemplo 3: f(x) = 2x² + 7x + 3 = 0
(2x + 1)(x + 3) = 0; Portanto, x₁ = -1/2 e x₂ = -3. A fatoração, quando possível, oferece uma solução elegante e eficiente.
Interpretação Geométrica das Raízes, Como Calcular Os Zeros De Uma Funçao Quadratica Exemplos Resolvidos
As raízes de uma função quadrática representam os pontos onde a parábola intersecta o eixo x (onde y = 0). Se as raízes são reais e distintas, a parábola intersecta o eixo x em dois pontos distintos. Se as raízes são reais e iguais, a parábola tangencia o eixo x em um único ponto (o vértice da parábola). Se as raízes são complexas, a parábola não intersecta o eixo x.
Uma parábola com raízes reais e distintas (ex: x²
-5x + 6 = 0) interceptará o eixo x em x = 2 e x =
3. A concavidade será para cima (pois a = 1 > 0) e o vértice estará localizado no ponto médio entre as raízes. Uma parábola com raízes reais e iguais (ex: x²
-4x + 4 = 0) tocará o eixo x apenas em x = 2, sendo este o vértice da parábola.
Uma parábola com raízes complexas (ex: x² + 2x + 5 = 0) não interceptará o eixo x, permanecendo totalmente acima ou abaixo do eixo x, dependendo do sinal de ‘a’.
Aplicações Práticas
Funções quadráticas são amplamente utilizadas para modelar situações reais. Vejamos dois exemplos:
Exemplo 1: Trajetória de um projétil: A altura (h) de um projétil em função do tempo (t) pode ser modelada por uma função quadrática da forma h(t) = -at² + bt + c, onde ‘a’ representa a aceleração da gravidade, ‘b’ a velocidade inicial e ‘c’ a altura inicial. Encontrar as raízes desta função nos daria os tempos em que o projétil atinge o solo (h = 0).
- Definir a equação da trajetória.
- Resolver a equação para h = 0 usando a fórmula quadrática ou fatoração.
- Interpretar as raízes como os tempos em que o projétil atinge o solo.
Exemplo 2: Área de um terreno: Se um terreno retangular tem um perímetro fixo e queremos maximizar sua área, podemos modelar a área como uma função quadrática dos lados do retângulo. Encontrar o vértice desta parábola nos daria as dimensões que maximizam a área.
- Definir a equação da área em função de um dos lados do retângulo.
- Encontrar o vértice da parábola utilizando a fórmula do vértice (-b/2a).
- Interpretar as coordenadas do vértice como as dimensões que maximizam a área.
Dominar o cálculo dos zeros de uma função quadrática abre portas para uma compreensão mais profunda de diversos problemas matemáticos e aplicações no mundo real. De equações de movimento a modelos econômicos, a capacidade de identificar esses pontos cruciais é imprescindível. Ao longo deste guia, exploramos a fórmula quadrática e a fatoração, métodos poderosos e complementares para encontrar as raízes, apresentando exemplos práticos que ilustram a aplicação desses conceitos.
Agora, armado com este conhecimento, você está pronto para enfrentar novos desafios e aplicar essas técnicas com confiança e precisão, resolvendo problemas com elegância e eficiência. Lembre-se: a prática leva à perfeição!